Многочлен с целыми коэффициентами в трех различных целых точках принимает значение 2.
Может ли в некоторой целой точке его значение быть равным 3?

никто не знает, что такое многочлен?

Об этом в приличном обществе не говорят.

(1)
Василий Иванович с Петькой сдают экзамен по математике, получили билеты и вдруг выскочили на улицу. Удивленный профессор выходит за ними. Смотрит - Петька землю лопатой роет.
- Ты что, Петька?
- Корень квадратный ищу.
- А Василий Иванович где?
- А ему задали одночлен на многочлен разложить, так он плачет и шашку точит...

(0) не может

Данный многочлен можно представить
F(x) = (x-a)*(x-b)*(x-c)*P(x) + 2,
где a, b, c - целые точки, в которых F(x) = 2,
P(x) - некий многочлен с целыми (? тут я сам засомневался )) коэффициентами
Тогда для F(x) = 3 имеем:
(x-a)*(x-b)*(x-c)*P(x) = 1,
т.к. все множители целые, то каждый из них должен быть равен 1

(5) Или -1
Но поскольку вариантов всего 2, а множителей - несколько больше, то всё равно не может.

(5) единственный пробел в доказательстве:
почему P(x) - многочлен с ЦЕЛЫМИ коэффициентами?

(7) не зря я сомневался )
пусть p0, p1 .. pN - коэффициенты при соответсвующих степенях P(x)

pN = a[N+3] - целое,
a[N+2] = p[N-1]+(a+b+c)*p[N] ==>> p[N-1] - целое
и так далее до p0

Задачу проще понять так: Многочлен с целыми коэффициентами имеет три ноля - может ли в какой-то целой точке его значение быть равным единице ?

(7)В качестве многочлена можно использовать интерполяционный полином Лагранжа или Ньютона. Но коэффициенты не будут ЦЕЛЫМИ. Отсюда вытекает необходимость условия, что коэффициенты должны быть целыми, чтобы задача не имела решений.

(8) не понял
(9) можно и так
(10) тоже непонятно

(11) (8) Коэффициенты многочлена P выражаются через коэффициенты исходного многочлена A, и поэтому все тоже целые

(12) согласен, но только потому, что (x-a)*(x-b)*(x-c) приведенный многочлен